简单的周期问题
　
一、填空题
1．某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期　_________　．
2． 1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期　_________　．
3．按如图摆法摆80个三角形，有　_________　个白的．
4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是　_________　灯．
5．时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是　_________　时．
6．把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在　_________　列．
　
7．把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是　_________　．
8．循环小数与．这两个循环小数在小数点后第　_________　位，首次同时出现在该位中的数字都是7．
　
9．一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数．
（1）其中共有　_________　个1，　_________　个9　_________　个4；
（2）这些数字的总和是　_________　．10． 所得积末位数是　_________　．
　
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，…得到一串数字：1  9  8  9  2  8  6…
这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
12．1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？
　
13．n=，那么n的末两位数字是多少？
　
14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？
　
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期　二　．
考点：
日期和时间的推算。1665141
分析：
因为某年二月份有五个星期日，又知4×7=28，所以这年二月份应为29天，而且可知2月1日和2月29日均为星期天．所以3月1日为星期一．到六月一日经过了3月、4月、5月，因为3月、5月又1天，4月有30天，所以共有31+30+31+1=93天，每个星期有七天，所以93÷7=13…2，所以6月1日是星期二．
解答：
解：因为7×4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了
31+30+31+1=93（天）．
93÷7=13…2，所以这年6月1日是星期二．
答：这年六月一日是星期二．
故答案为：二．
点评：
本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答．在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年．
　
2．（3分）1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期　日　．
考点：
日期和时间的推算。1665141
分析：
先求出这十年有多少天，再求这些天里有多少周，还余几天；再根据余数求出这一天是星期几．
解答：
解：这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
365×10+2=3652（天）；
3652÷7=521（周）…5（天），
5+2=7，所以再过十年的12月5日是星期日．
故答案为：日．
点评：
本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答．在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年．
　
3．（3分）按如图摆法摆80个三角形，有　39　个白的．
考点：
简单周期现象中的规律。1665141
分析：
从图中可以看出，三角形按“黑黑白白黑白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，80÷6得出周期数和余数，一个周期有3个白，加上余数的白个数，即可得解．
解答：
解：80÷6=13…2，
余数2全是黑，所以，白的三角形有：13×3=39；
答：有39个白的．
故答案为：39．
点评：
看出规律，到周期，是解决这类题的关键．
　
4．（3分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是　白　灯．
考点：
简单周期现象中的规律。1665141
分析：
每四盏灯为一个周期，白灯、红灯、黄灯、绿灯，以此类推，73是多少个周期余数是几，排一下就知道了．
解答：
解：73÷4=18…1，
所以是白灯；
答：小明想第73盏灯是 白灯．
故答案为：白．
点评：
此题考查了简单周期现象中的规律．
　
5．（3分）时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是　13　时．
考点：
时间与钟面。1665141
分析：
分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时；一天24小时，1991÷24=82（天）…23（小时），1991小时共82天又23小时；现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时，正好是13时．
解答：
解：1991÷24=82天…23小时，1991小时共82天又23小时．
14+23﹣24=13小时，
答：时针表示的时间是13时．
故答案为：13．
点评：
考查了时间与钟面，在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针，就组成了我们天天见到的钟面．钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面．
　
6．（3分）把自然数1，2，3，4，5…如表依次排列成5列，那么数“1992”在　第三　列．
考点：
数表中的规律。1665141
分析：
9个数一个循环，这9个数不变的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第三列、第二列；那么求出1992是多少个循环，得出余数，即可得解．
解答：
解：1992÷9=221…3；
所以，1992在第三列．
故答案为：第三．
点评：
此题考查了数表中的规律，认真分析得出结论．
　
7．（3分）把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是　7　．
考点：
简单周期现象中的规律；循环小数与分数。1665141
分析：
先把化成小数：0.0.571428571428571428，是一个循环小数，它的循环周期是6，六个数字依次是：5，7，1，4，2，8．
因为110÷6=18…2，所以第110位上的数是一周期的第二个数即7．
解答：
解：因为=0.571428571428，是个循环小数，它的循环周期是6，具体地六个数字依次是5，7，1，4，2，8；
110÷6=18…2，所以第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7．
故答案为：7．
点评：
做这类题先把分数化为小数，（一般为循环小数），周初他的循环周期及循环的数列，求第几位上的数字，就用这个数字除以循环周期，余几就是一个循环周期的第几个数字．
　
8．（3分）循环小数与．这两个循环小数在小数点后第　35　位，首次同时出现在该位中的数字都是7．
考点：
循环小数及其分类；公约数与公倍数问题。1665141
分析：
根据已知条件可知，这两个小数的循环节分别是7位数和5位数，求出5和7的最小公倍数即可．
解答：
美食食谱2020年6月30日星期二解：因为0.1992517的循环节是7位数，0.34567的循环节是5位数，又5和7的最小公倍数是35，所以两个循环小数在小数点后第35位，首次同时出现在该位上的数字都是7．
故答案为：35．
点评：
此题答解答主要根据求两个数的最小公倍数解答．
　
9．（3分）一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，…共有1991个数．
（1）其中共有　853　个1，　570　个9　568　个4；
（2）这些数字的总和是　8255　．
考点：
数字串问题；数字和问题。1665141
分析：
不难看出，这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，即周期为7，且每个周期中有3个1，2个9，2个4．因为1991÷7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9．其中1的个数是：3×284+1=853（个），9的个数是2×284+2=570（个），4的个数是2×284=568（个）．这些数字的总和为1×853+9×570+4×568=8255．
解答：
解：（1）这串数每7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环，且每个周期中有3个1，2个9，2个4．因为1991÷7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9．其中1的个数是：3×284+1=853（个），9的个数是2×284+2=570（个），4的个数是2×284=568（个）．
（2）这些数字的总和为：1×853+9×570+4×568=8255．
故答案为：853，570，568；8255．
点评：
在做题时应首先观察规律：7个数即1，9，9，1，4，1，4为一个循环．
　
10．（3分） 所得积末位数是　9　．
考点：
乘积的个位数。1665141
分析：
当7的个数是1时，末位是7；当7的个数是2时，末位是9；当7的个数是3时，末位是3；当7的个数是4时，末位是1；当7的个数是5时，末位又是7；由此发现积的末尾依次出现7、9、3、1；依此规律解答即可．
解答：
解：先出积的末位数的变化规律：
71末位数为7，72末位数为9，73末位数为3，74末位数1；75=74+1末位数为7，76=74+2末位数为9，77=74+3末位数为3，78=74×2末位数为1；
由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1，以4为周期循环出现．
因为50÷4=12…2，即750=74×12+2，所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是9．
故答案为：9
点评：
此题考查的目的是：通过计算发现规律，依照规律解答这类问题．